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京都大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1971年 第3問 (解答解説)

📝 問題

関数 は実数のにおける最小値をとする． 不等式を満足する，で，を最大にするものを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数

について考える．での最小値は，の軸の位置で場合分けすると以下のようになる．

  1. ア　 の時,

  2. イ　 の時,

  3. ウ　 の時,

軸 $x = -\dfrac{a}{2}$ の位置による $f(x)$ の最小値の場合分け．

図 1: 軸 の位置による の最小値の場合分け．

次に，を満たす の存在領域は下図斜線部 (境界含む) である.

$(a,b)$ の領域（青色）と，最大値を与える点 $(-1,\dfrac{3}{2})$．

図 2: の領域（青色）と，最大値を与える点 ．

よって，それぞれの場合でのの最大値は以下のようになる．

ア: の時

この時はより，つまりの時に最大値

をとる．

イ: の時

この時はより，まずを固定してを動かすとはについて単調増加だから

であり，次にを動かすとこれはつまりの時に最大値

を取る．

ウ: の時

この時はより，まずを固定してを動かすとはについて単調増加だから

である．次にを動かすとこれはつまりの時に最大値

をとる．

以上から が を最大にする.

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