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京都大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1971年 第5問 (解答解説)

📝 問題

半径の円に内接する正角形の頂点を順次とする． まず頂点を中心とする半径の円と辺の延長(の方向)との交点をとして 扇形をつくる． 次に頂点を中心とする半径の円と辺の延長(の方向)との交点をとして 扇形をつくる． 順次このようにして個の扇形をつくる． さて，正角形の面積とこれら個の扇形の面積の総和をで表わすとき，

  1. を，を用いて表わせ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正八角形で示した扇形の作り方と，正 $n$ 角形を中心から分けた一つの三角形 $\triangle OA_1A_2$．

図 1: 正八角形で示した扇形の作り方と，正 角形を中心から分けた一つの三角形 ．

正 角形の一辺の長さを とおくと, 上図でに着目して

である．

また，正 角形の面積 は, 上図の三角形の面積の 倍で,

である．

題意から扇形 () の半径を とすると

だから，等差数列の公式より

である． 扇形 の中心角は だから, 扇形 の面積 は

である．

よって個の扇形の面積の総和 はこれをで足し合わせて

式

である．

(式11),(式3)の和が求める面積で，

より求める極限値は

である．

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