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京都大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1972年 第5問 (解答解説)

📝 問題

だ円 の上の点を媒介変数をつかって，

で表わす． 時間をとし，はの変化につれて次のように移動する． 時刻のとき点はにあり，その後このだ円上を時計の針の進行方向と逆の方向に動く． 時刻 までに線分の通過した部分の面積をとする． つねにであるとき，をの関数として表わせ．(は原点である．)

✏️ 解答解説

【解答】

$X=x/a$，$Y=y/b$ による楕円の扇形（面積 $S$）から単位円の扇形（面積 $S'$）への変換．

図 1: ， による楕円の扇形（面積 ）から単位円の扇形（面積 ）への変換．

なる変換をほどこすと，楕円

は円

に，点は点に変換される．

従って線分 が時刻からまでに掃いた部分は上図斜線部(この面積 とする)にうつる. 変換の定義から面積比は

であり, は偏角の扇形の面積だから

である．(式4)を(式3)に代入して

である．

題意より だから，(式5)の両辺をで微分して

である．積分して

を得る．ただしは積分定数である． で より だから, 求める関係は

である．

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