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京都大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1972年 第6問 (解答解説)

📝 問題

枚のカードがあり，それぞれのカードにはという数字が記入されている． これをよく混ぜて無作為(任意)に1枚のカードをとり出すとき，それに記入された数の期待値(平均値)をとする． また，同時に2枚のカードをとり出すとき，記入された2数の和の期待値(平均値)をとすれば，となることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

$n$ 枚のカードと，非復元抽出による2枚のカード $X, Y$ の取り出し．

図 1: 枚のカードと，非復元抽出による2枚のカード の取り出し．

まずについて，これはの平均に等しいから

である．

次にについては取り出した2枚を区別して考える. 1枚目の数 , 2枚目の数 とおくと期待値は

である. 枚目の期待値はに等しく

である．次に枚目の期待値は，枚目に引いたカード以外の枚から引くから

である．(式2),(式3),(式6)から

となって題意は示された．

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