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京都大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1972年 第1問 (解答解説)

📝 問題

2つまたは3つのベクトルの加法について，次の法則が成立する．

いま，個のベクトルをとし， その順序を任意にかえたものを，とする． 上の2つの法則だけをつかって，

がなりたつことを数学的帰納法を用いて示せ． なお， たとえば4つのベクトル，，，について， その和は を意味するものとし， 一般の場合も同様とする．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた方程式の左辺と右辺を

とおく．

ベクトルの2つの公理

を用いて

を数学的帰納法により示す．

証明の前に以下の補題Iを示す．

補題I

任意のベクトル に対し ()

が成り立つ．

証明

証明は数学的帰納法による. の時は(式5)は(式2)に他ならない. そこで での成立を仮定して の時を考えると，

式仮定式

である．ゆえに でも(式5)は成立する． 以上から帰納法により(式5)は示された.

□

以下数学的帰納法によって(式4)を示す．

まず の時は(式4)は

で，これは定義から成立する.

そこで に対し, での(式4)の成立を仮定する. の定義から,

なる があることに注意する. このの値で場合分けする．

の時

この時は

仮定

となり, でも(式4)は成立する．

の時

この時は

仮定補題に帰着

となり， でも(式4)は成立する．

以上 から, でも(式4)は成立する. ゆえに数学的帰納法により(式4)は示された.

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