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京都大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1971年 第1問 (解答解説)

📝 問題

座標平面において，，がともに整数であるような点を格子点とよぶことにする．

この平面上で，

  1. 辺の長さが1で，辺が座標軸に平行な正方形(周をこめる)は少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．

  2. 辺の長さがの正方形(周をこめる)は，どんな位置にあっても，少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

座標軸に平行な一辺 $1$ の正方形は格子点を含む．

図 1: 座標軸に平行な一辺 の正方形は格子点を含む．

1辺の長さ1の辺が座標軸に平行な時，この正方形内部(周含む)の点 は, として

と書ける. この時, , をみたす が必ず存在するから, は正方形内部にある. 従って常に少なくとも1つの格子点を含む.

(2)

一辺 $\sqrt{2}$ の正方形の内接円と，単位正方形の中心から頂点までの距離．

図 2: 一辺 の正方形の内接円と，単位正方形の中心から頂点までの距離．

1辺の長さ の時，上図から正方形の中心(対角線の交点)からの距離 の点は全て正方形内に含まれる.

又, 1辺1の正方形の4頂点となるような4格子点をもってくる. このような正方形で格子点空間を埋め尽くせる．

この正方形は対角線の長さ だから，正方形内部の任意の点は少なくとも1つの格子点からの距離が 以下である． 従って，この正方形の内部に一辺の正方形の中心を配置すれば，辺の長さ の正方形は少なくとも1つの格子点を持つ.

【別解】

(ii)

一辺 $\sqrt{2}$ の正方形とその内接円，および内接円に内接する軸に平行な一辺 $1$ の正方形．

図 3: 一辺 の正方形とその内接円，および内接円に内接する軸に平行な一辺 の正方形．

議論としては同じだが，(i)を誘導として使う形にしておくのが綺麗かもしれない． 一辺の正方形の内接円の半径はで，さらにこれに内接する正方形は一辺である．そこでその正方形を座標軸に平行に取れば(i)が使えて，その内部には必ず格子点がある．

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