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東京大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1968年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を空間の直交座標とし， 点 を通り 軸に平行な直線を とする． 平面内にあって で表わされる曲線の なる部分を， 直線 のまわりに回転してできる曲面と， 平面 および とによって囲まれた部分の体積を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

\input{macros} \begin{oframed} を空間の直交座標とし，点を通り軸に平行な直線をとする．平面内にあってで表される曲線のなる部分を，直線のまわりに回転してできる曲面と， 平面およびとによって囲まれた部分の体積を求めよ． \end{oframed}

【解】

題意の立体の体積とする．このうちの部分の体積とすると，対称性から

である．での断面を考えよう．曲線ととの交点はだから, との距離は

である．これをとおく． 断面はを中心とした半径の円である．故に求める体積は

したがって(式1)から

答

である．

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