東京大学 前期 1968年 第5問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 整数を係数とする次数の多項式で，次の条件を満たすものを求めよ．

1. のグラフは原点に関して対称である．

2. は重根を持たない．

3. は極大値も極小値も持たない．

4. は整数である．

5. である．

\end{oframed}

【解】

条件(1)から，は奇関数であるから，として とおける．ただしである．さらに条件(2)から，が従う． (なら重根を持つ．)さらに条件(3)からの符号が入れ替わらなければよい．言い換えれば常に非負か，常に非正であればよい．然るに及びの極限を考えることで，の符号が一致していなければならない()．つまりである．

次に(4)から

となる．以上に加えて条件(5)からである．及びからあり得る の候補は

のみであるが，このうち (式2)を満たすのはのみである．故に求めるのは(答)である．