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東京大学 前期 1967年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1967年 第5問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

のグラフがのグラフに接するように定数の値を定めよ． なお，そのときこれらのグラフと軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【旧課程】

のグラフとのグラフとが接するように定数の値を定めよ． なお，そのときの図をかけ． ただし，の区間についてだけでよい．

✏️ 解答解説

【新課程】

【解答】

接点の座標を ()とする． について，についてであるから，これらつのグラフが点で接するための必要十分条件は

である．

二つ目の等号より

である．これを一つ目の等号に代入して

である．

さらに，この時のグラフは下図のようになる． 接点の座標はであり，と軸の交点はである．

$y=ax^2$ と $y=\log_e x$ の接点および囲まれる図形 $S$

図 1: と の接点および囲まれる図形

この時，求める面積は

答

である．

【旧課程】

，とおく． 導関数はそれぞれ

である． において，これらつのグラフが点で接するための必要十分条件は

である．第式より

より， または である． の範囲で場合分けを行う．

のとき

この時またはである．

  1. のとき: ，であるから，第式より

    となり，接点はである．

  2. のとき: ，であるから，第式より

    となり，接点はである．

のとき

またはである． このときであるから，第式より

となり，接点はおよびの点である．

以上より，求めるの値は

答

である．各場合のにおけるグラフは以下の通りである．

$a=1$のときのグラフ（接点$\left(\dfrac{\pi}{2}, 2\right)$）

図 2: のときのグラフ（接点）

$a=-3$のときのグラフ（接点$\left(\dfrac{3\pi}{2}, -2\right)$）

図 3: のときのグラフ（接点）

$a=\dfrac{3}{2}$のときのグラフ（接点$\left(\dfrac{\pi}{6}, 1\right)$，$\left(\dfrac{5\pi}{6}, 1\right)$）

図 4: のときのグラフ（接点，）

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