東京大学前期 1967年第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 辺の長さの正方形が，その中心を円の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ち真柄動く．一方，同じ大きさの正方形が固定されていて，辺が座標軸に平行でありその中心が点にある．このとき，二つの正方形，の共通部分の面積の最大値を求めよ．

注．正方形の中心とは，その二つの対角線の交点をいう． \end{oframed}

【解】

\1 ただしとする．の中心とすると，の周及び内部の点は不等式

となる．一方$B$の周及び内部は，不等式

  で表される．[(式1)](#eq:1)，[(式2)](#eq:2)が共通部分を持つための条件は$s\ge0$つまり$0\le\theta\le\pi$で，このもとで共通部分は

    で表される長方形である．故にこの面積$S(\theta)$は

    である．このとき$S'(\theta)=(2c-1)(c+1)$より下表を得る．

    従って$\max S(\theta)=S(\pi/3)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$である．$\cdots$(答)