東京大学前期 1967年第6問 (解答解説)

【新課程】

箱の中に，1から9までの番号をひとつずつ書いた9枚のカードがある．それらをよくまぜて，その中から1枚ずつ続けて全部を取り出し，取り出した順に新しく1から9までの番号をつける．このとき，新しくつけられる番号が前もってつけられている番号に一致するカードが，ちょうど5枚できる確率を求めよ．

【旧課程】

点を一端とする半直線上に点，が与えられていて，，であるとする．いまこれから，点 ()を次の手順で定める．

，のうちに近い方を，遠い方をとする．線分を直径とする半円と，におけるの垂線との交点をとってこれをとする．
次に，を中心とする半径の円と，半直線との交点をとってこれをとする．

このとき，点はある定点に限りなく近づく．線分の長さを求めよ．

【新課程】

【解答】

からまでの番号が書かれた枚のカードを取り出す順序は全部で通りあり，これらは同様に確からしい．新しくつけられる番号が前もってつけられている番号に一致する枚のカードの選び方は通りある．残りの枚のカードについては，いずれも元の番号と異なる番号がつけられなければならない．残る枚のカードの元の番号を，一般性を失うことなくとする．のカードにつけられる新番号はの通りである．ここで，のカードにの番号がつけられる場合を考えると，他の枚（）への番号の対応は以下の通りである．

元の番号	1	2	3	4
新番号 (i)	2	1	4	3
新番号 (ii)	2	3	4	1
新番号 (iii)	2	4	1	3

表 1: 残る枚のカードの新番号の割り当て

対称性より，のカードに，の番号がつけられる場合も同様にそれぞれ通りずつあるから，残る枚のどのカードも元の番号と一致しない並べ方は

通 り

である．したがって，一致するカードがちょうど枚となる場合の数は

通 り

である．ゆえに，求める確率は

答

である．

【旧課程】

【解答】

自然数に対し，線分の長さをとおく．条件より

である．に対して，点，のうちに近い方を，遠い方をとするから，

である．線分を直径とする半円上に点があるから，である．また，点から直径（半直線）に下ろした垂線の足がであるから，直角三角形において

が成り立つ．

半円と垂線による点$Z$および点$A_n$の作図 — 図 1: 半円と垂線による点および点の作図

相似比より

である．であり，であるから，

となる．手順(2)よりであるから，数列の漸化式

を得る．，より，すべての自然数についてである．ここで両辺のを底とする対数をとり，とおくと，

であり，(式13)より

が成り立つ．変形すると

となるから，数列は初項，公比の等比数列である．したがって，のとき

である．これより，のとき（でも成立）

となる．のときであるから，

である．であり，関数は連続であるから，

である．したがって，点が限りなく近づく定点をとすると，線分の長さは

答

である．

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【旧課程】

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【解答】

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