東京大学前期 1966年第6問 (解答解説)

【解答】

からまでの数字が書かれた枚のカードから枚を続けて取り出し，左から並べて桁の数をつくる方法はすべてで通りあり，これらは同様に確からしい．このうち，より小さくなる数は，千の位（最高位）がで固定され，次のつの場合に分けられる．

未 満 （ 百 の 位 が 以 下 ） 以 上 以 下 （ 百 の 位 が ）

千の位は（通り）で，百の位はからまでの通りである．十の位は残りの枚から枚，一の位は残りの枚から枚を選べばよいので，

通 り

である．

千の位が，百の位が（通り）である．

合わせて

通 り

である．

(式2)，(式3)より，より小さくなる数は全部で

通 り

ある．したがって，求める確率は

答

である．

題意より，は軸に平行であるから，

とおける．また，

とする．

をに関して折り返した曲線をとすれば，上の点は上の点に移るから，

である．

次にについて考えよう．の頂点は，対称軸はである．一方，の頂点は，対称軸はである．を直線に関して折り返すとに重なるから，の対称軸との対称軸はに関して対称でなければならない．これら直線の交点はであり，対称軸はこの交点を通ってかつ傾きがである．したがって

とおける．

また，この折り返しによりの頂点はの頂点に移るから，線分の中点が上にあり，かつである．，およびの方向ベクトルについて，複合同順として

複 合 負

である．この時，(式9),(式12)より

となる．

以下十分条件を求める．上の点がに関する折り返しによって点に移るとすると，

線 分 の 中 点 が 上

である．この時が上にある条件から

である．これはがの折り返しによりに移動することを示しており十分である．

以上より求める直線は

答

である．