東京大学 前期 1966年 第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 平面上に点列があり，，の座標はそれぞれ (0,0)，(1,0)である．また，任意の自然数に対し，線分の長さは，線分 の長さの倍で，半直線が半直線となす角は である．の座標を求めよ． \end{oframed}

【解】

とし，複素数平面で置き換えて考える． を表す複素数をとすれば，題意より

だから，繰り返し用いて$a_n=\left\{2e\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right\}^{n-1}$である．
従って$P_{3n}$を表す複素数$b_{n}$として
$a=2e\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$とおけば，

であるから，求める座標は

である．$\cdots$(答)