東京大学 前期 1965年 第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 直線は双曲線の第一象限にある部分に接し，と軸との交点の座標はより小 さくないとする．

この条件のもとでが変動するとき，四直線，，およびで囲まれる 部分の面積の最大値を求めよ． \end{oframed}

【解】

題意の接点をとする．ただしとする．このときだから

となるので，これと軸の交点はとなる．題意の条件より

となる．題意の面積をとすると，の値で場合分けして以下のようになる． \begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(i)つまりの時}

グラフが右図のようになるので

となる．ただし$s=1/t$として，$1\le s\le2$である．この時の最大値は，
$s=1$のときの$\dfrac{1}{2}$である．

 \underline{(ii)$2\le2t$つまり$1\le t$の時}

となる．この時は$0<s\le1$だから$s=2/3$で最大値$2/3$をとる．

\end{indentation} 以上から(答)である．