東京大学 前期 1965年 第6問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 下の図は半径の長さの半円で，弦，と直径のつくる角はそれぞれ，である．

このとき，弦，と円弧とで囲まれる部分を直径のまわりに一回転して得られる立体の体積を求めよ．

\scalebox{1}{\input{ut-65-6p1}}

\end{oframed}

【解】

，となるように座標をおく．すると原点がこの半円の中心である．故に， である．，から軸に下ろした垂足を，，とする．

\scalebox{1}{\input{ut-65-6p2}}

このとき，求める体積として

とおけば，

である．各項計算して，

これらを(式4)に代入して

である．(答)