東京大学前期 1965年第4問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 下の図においては長さの線分を直径とし，を中心とする半円周，はに垂直な半径上の動点とする．

を正の定数とし，線分をに内分する点を通ってに平行な弦をとすれば，をどこにとったとき四辺形の面積が最大になるか．

\scalebox{.7}{\input{ut-65-4p1}}

\end{oframed}

【解】

を原点とし，を軸正方向，を軸正方向とする座標系を考える．とおく．すると，まずより

である．また，内分点の条件からであるから，の座標は

である．故に四辺形の面積として

グラフの概形は下図のようである．

\scalebox{.5}{\input{ut-65-4p2}}

故に，の値によってこの最大値は以下のようになる． \begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(i)の時}

$t^2=1/(1+k)^2$の時，つまり$P=C$の時$f(t)$は最大である．
\\

\underline{(ii)$1/2\le1/(1+k)^2\therefore-1+\sqrt{2}\ge k$の時}

$t^2=1/2$つまり$t=1/\sqrt{2}$，$P$の$y$座標が$(k+1)/\sqrt{2}$の時，$f(t)$は最大である．

\end{indentation} 以上から，求めるの位置は，

である．

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【解】