東京大学前期 1968年第6問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．

がを満たす有理数ならば，区間の上で不等式が成り立つことを示せ．
の桁数はいくつか．またその最上位の数は何か．その理由を述べよ．
1. 注1　．例えばの桁数は，最上位の数はである．なおこの数がに近いことに注意せよ．
2. 注2　．であるが，この数値を証明に用いてはならない．
であることを示せ．

\end{oframed}

【解】

とおく．

  である．

$$
\begin{align}
&0\le x\le1 &0<\a<1
\end{align}
$$

から，$\cfrac{1}{2}\le\cfrac{1}{1+x}\le1$，$0<1-\a<1$であることより，

従って$f'(x)>0$だから，$f(x)$は単調増加．これと$f(0)=0$から，区間内で$f(x)\ge0$である．故に示された．$\Box$

2. だから，ゆえ，

<span id="eq:1"></span>

$$
\begin{align}
2^{200}>10^{60}
\end{align}
$$

である．

また，(1)で$(x,\a)=(1,1/20)$とすることにより，(これらは条件を満たす．)

<span id="eq:2"></span>

$$
\begin{align}
&2^{1/20}\ge 1+\dfrac{1}{40}>1+\dfrac{24}{1000}\nonumber\\\Longleftrightarrow&2^{10}<2^{1/20}10^3 \nonumber\\\therefore\ &2^{200}<2×10^{60}
\end{align}
$$

を得る．[(式2)](#eq:1)，[(式5)](#eq:2)より，

<span id="eq:3"></span>

$$
\begin{align}
10^{60}<2^{200}<2×10^{60}
\end{align}
$$

であるから，$61$桁で，最高位は$1$である．$\cdots$(答)

3. (式6)の各辺正より，常用対数を取る.以下とする．

$$
\begin{align}
&60<200a<60+a  \\\Longleftrightarrow&\dfrac{3}{10}<a<\dfrac{60}{199}\\\therefore\ &0.300<a<0.3015\cdots
\end{align}
$$

であるから，題意は示された．$\Box$

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【解】