東京大学前期 1968年第1問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 平面上の点でをみたす範囲が，直線によって面積の等しい二つの部分に分けられるように，の値を求めよ． \end{oframed}

【解】

簡単のため

とおく．$0<x<5$では$f(x)<0$，$g(x)>0$である．
故にグラフの概形は下図．


  \includegraphics[width=6cm]{ut-68-1-a.eps}


これら二つのグラフの囲む面積$S$とすると，

である．各項計算すると，

である．故に[(式2)](#eq:1)に代入して

である．

また，$S_1>S_2$であるから，題意より，$\a<0$となることが必要で,このとき，$y=\a x$と$y=f(x)$が$0<x<5$に交点をひとつ持つ
．グラフの概形は右上図．

  \includegraphics[width=6cm]{ut-68-1-b.eps}


交点の$x$座標を$p$とおく．つまり

とする．[(式6)](#eq:2)に注意して，面積が等しい条件から

である．これを[(式8)](#eq:3)に代入して

これは$\a<0$を満たし，十分．以上から，求める値は$\a=-1$である．$\cdots$(答)

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【解】