東京大学前期 1970年第1問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} を虚数単位としとおく．またはすべての自然数にわたって動くとする．このとき，

は何個の異なる値をとり得るか．
の値を求めよ

\end{oframed}

【解】

ドモアブルの定理からだから，に対して

となる．

(式1)からについてのみ考えればよいが，このときに対してと仮定するととなって矛盾．故にだからはすべて異なり，求めるのは個である．
合同式の法をとする． \begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(i)の時}

    であるから，[(式1)](#eq:1)から(与式)$=1$である．

    \underline{(ii)otherwise}

    $\{n,2n,3n,4n,5n\}$の中に合同式で$0$に等しいものがあるので，(与式)$=0$となる．
  \end{indentation}
  以上から

$$
\begin{align}
\text{(与式)}=\left\{\begin{array}{ll}
1 &  (n\equiv \pm1)     \\
0 &  (otherwise)
\end{array}\right.\tag{答}
\end{align}
$$

となる．

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【解】