東京大学 前期 1968年 第3問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} ，は与えられた実数とするう．の二次式の係数，，が， なる関係式を満たしながら動く時，座標を持つ点の全体は，平面上のどんな集合になるか． \end{oframed}

【解】

，とし，とおけば，の動く範囲を求めればよい． だから，

である．従って，，がか否かで場合分けする． \begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(1)の時}

$p=q=0$ゆえ$A(0,0)$である．
\\

\underline{(2)$\a=1,\b\not=1$の時}

$p=0$，$q$は任意の実数をとるので，$A$は直線$y=0$上を動く．
\\

\underline{(3)$\a\not=1,\b=0$の時}

(2)と同様に，$A$は直線$x=0$上を動く．
\\

\underline{(4)$\a\not=1,\b\not=1$の時}

$p=(\a-1)\{a(\a+1)+b\}$を$b$についてといて，

である．これを$q=(\b-1)\{a(\b+1)+b\}$に代入して

である．故に$\a=\b$なら$q=p$となり，$\a\not=\b$なら$p\not=q$であるから，

となる．

\end{indentation}

以上をまとめて，

である．(答)