東京大学 前期 1967年 第4問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 方程式の表す曲線の略図をえがき，その第一象限にある部分が軸，軸と囲む図形の面積を求めよ． \end{oframed}

【解】

題意の曲線とし，を負方向にだけ回転した図形とする．がに移るとする． として，

であるから，

これをの方程式に代入して

故には短半径，長半径の楕円である．これを正方向に回転させたものがであるから，の概形は以下．

\scalebox{.5}{\input{ut-67-4p1}}

また，求める面積は，側で考えれば下図斜線部である．(，を回転させるとに成る．)

\begin{minipage}{0.5\hsize}

  \scalebox{.5}{\input{ut-67-4p2}}

\end{minipage} \begin{minipage}{0.5\hsize}

  \scalebox{.5}{\input{ut-67-4p3}}

\end{minipage} \

ここでなる座標変換をすると，右上図のようになるから，

である．(答)