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東京工業大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1989年 第3問 (解答解説)

📝 問題

関数は次の等式

を満たしているとする． 関数がで微分可能であるとき，次の問に答えよ．

  1. 関数はすべてのの値で微分可能であることを証明せよ．

  2. 関数を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数方程式

について考える．

(1)

(式1)から

だから，として両辺で割ると

となる．両辺の極限をとると

である．ここで右辺の極限について題意より

だから代入して

である．従って左辺の極限値が存在するから，は任意ので微分可能である．

(2)

まず(式1)でとして，

である．(式6)より

だからとして

である．両辺を積分して

とおける．ただしは積分定数である． (式7)に代入してである．

の時

この時(式12)よりだから，(式1)に代入すると

左辺右辺

となって恒等的に(式1)が成立するから十分である．

の時

この時は(式12)よりであり，この時も(式1)は成立するから十分である．

以上から求めるは

である．

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