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東京工業大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1989年 第1問 (解答解説)

📝 問題

平面上の点から放物線へ2本の異なる接線を引き，それらの接点を，とする．

  1. 点が次の3つの不等式，，を同時に満たす範囲を動くとき， 線分の中点が動く範囲を図示せよ．

  2. 三角形の面積が2に等しくなる点はどんな曲線上にあるか． その方程式を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

接点の座標を，（）とおく． この時での接線は各々

だから，この交点であるの座標はである．

放物線 $y=x^2$ と 2 接線・交点 $P$・中点 $S$ の位置関係

図 1: 放物線 と 2 接線・交点 ・中点 の位置関係

(1)

題意の不等式をを用いて表すと

である．線分QRの中点の座標は

である．従って実数が(式2)を満たして動く時の(式3)の軌跡を求めれば良い． を変形すると

だから(式2)をで表すと

である．

またの存在条件は二次方程式の判別式が正であることだから

である．

求める領域は(式8),(式11)である．これを図示すると下図斜線部である．

求める領域の図示（斜線部）

図 2: 求める領域の図示（斜線部）

(2)

は

だから，サラスの公式から三角形PQRの面積は

⑤

である．題意よりこれがに等しいから

より

である．これをで表せば良い．(式3),(式6)に注意すると

だから(式15)の二乗に代入して

が求める曲線である．

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