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東京工業大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
#積分 #三角関数
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東京工業大学 前期 1989年 第2問 (解答解説)

📝 問題

平面で原点を中心とする半径2の円を， 点を中心とする半径1の円をとする． がの周上を，反時計まわりに，すべらずにころがって，もとの位置に戻るとき， 初めににあった上の点の描く曲線をとする．

  1. 上の点で座標が最大となる点の座標を求めよ．

  2. 曲線の長さを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

円の方程式を，とおく．またの中心，の中心，との接点をとおく． （）の時，までと接していた方の弧長はだから，弧度を含む方のである．この様子を下図に示す．

円 $A$ の周りを転がる円 $B$ と点 $P$ の位置関係

図 1: 円 の周りを転がる円 と点 の位置関係

この時の軸からの角度はで，の座標は

\label{eq:1} とかける．この描く曲線がCである．三倍角の公式

を代入して

である．

(1)

(式1)のグラフの概形から最大値を求めよう．の一階微分は

だから増減表は下のようになる．ただしと（）が軸に関して対称なので，とした．

表 1: 曲線の増減表

したがって，（曲線）で座標が最大なのは，である．

曲線 $C$の概形と極値点

図 2: 曲線 の概形と極値点

(2)

の長さをとする．が軸についても対称だから，は第一象限の部分の長さの倍である． したがって

である．

【解説】

エピサイクロイドの問題．

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