東京工業大学前期 1988年第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

である．題意よりでだから

となる．絶対値を外して

である．ここで

式 式 式

を計算すると

である．だから

であり，よって題意は示された．

(2)

が成り立つということは(1)より(式5)で等号が成立するので(式2),(式3),(式4)より

である．ただし複合同順である．(式9),(式10)を辺々足し引きして

である．さらに(式8)を(式11)の第一式に代入して

である．以上より

である．ただし複合同順である．この時関数は

であるが，これは題意の条件を満たすから十分である．以上より求める関数は

である．

【別解】

[解1]では不等式の性質を使っての値のみを使って解いたが，もっとゴリゴリに二次方程式の性質を使って解くこともできるのでその例も閉めそう．受験だとこういう解答の方が途中で事故りにくいので安全かもしれない．

(1)

での成立は明らかだから以下対称性からとする．は二次方程式だから平方完成すると

であり，区間内での最大最小値は軸の位置の値によって以下のようになる．

	1.	2.	3. otherwise
			のうち小さくない方
			のうち大きくない方

表 1: の軸の位置と，対応するの最大最小値

1と2の対称性から1と3だけ考えれば良い．

1. の時（）

からである．よりであるから

である．辺々引き算して

である．これとを合わせて平面に図示すると以下の斜線部である．

のとりうる範囲は直線と斜線部の領域の交点だから

である．右の等号成立はの時である．

3の時

この時は軸の条件から，

である．だから

である．又より

である．辺々足し引きして，

である．(式26),(式29)を図示すると下図斜線部である（境界はのみ含まず）．

従ってのとりうる範囲は，直線と斜線部の領域の交点を考えて

だからである．

以上から，は成立する．

(2)

(1)で等号が成立する場合を考えればよく，1と2の場合分けの対称性も加味しての時である．（以下略）

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【解答】

(1)

(2)

【別解】

(1)

1. の時（）

3の時

(2)