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東京工業大学 前期 1988年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #平面図形
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東京工業大学 前期 1988年 第3問 (解答解説)

📝 問題

平面上の曲線と, 原点を中心とする半径の円との共有点の個数を求めよ.

✏️ 解答解説

【解答】

$y=\cos\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}x \right)$と円の様子.

図 1: と円の様子.

,とおく.との共有点の数はを消去したの方程式

の解の数に等しい.そこでこの左辺をとおく.は偶関数だからでかんがえれば十分である. の一階微分を計算すると

である.ここでとのグラフは下図のようになる.

$f'(x)$ の正負と増減の境界

図 2: の正負と増減の境界

増減表は以下のようになる.

表 1: の増減表

ここで

であることと,が偶関数であることから,の概形は以下のようになる.

$y=f(x)$ のグラフと $y=r^2$ の交点の個数

図 3: のグラフと の交点の個数

の解の数は,グラフ上でとの交点の数に等しいから以下のようになる.

の時個個個個個

これを整理して以下が答えである.

【解説】

実際いくつかのについてプロットしてみると以下のようになる.

$y=\cos\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}x \right)$と円の様子.

図 4: と円の様子.

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