東京工業大学 前期 1990年 第2問 (解答解説)

【解答】

題意で与えられたの条件

の元で考える．簡単のため

とおく．「が任意ので成立すること」を帰納法で示す． の時にはだから成立は明らかなので，以下での成立を仮定してでも成立することを示す．

個の正数に対し，とし，とおく．まずを固定して考えると仮定より

と下から評価できる．次にを動かしての最小値を考えよう． の一階微分を計算すると

であって，がの単調増加関数であるから増減表は以下のようになる．

従っては下から評価できて

(式5)を(式3)に代入して

である．よってでも主張は成立する．

以上から数学的帰納法によりであり，題意は示された．