東京工業大学 前期 1990年 第3問 (解答解説)

【解答】

題意の楕円と円を，，とおく． 対称性からがにあるとして良い．を上のこの範囲内でと固定してをうごかす．

まず線分について考える．以下と書くことにすると はの上にあるからとおけて，

とかける．とおくと

である．従って第4項の内積が最小の時には最大になるが，これはとのなす角度がの時，すなわち線分がを通る時に最小になる．従ってと合わせてが最大になるのは線分がを通る時である．

全く同様に考えると，点については線分がを通る時にが最大になる．

従って，点を固定した時のの最大値は円の半径が1だから

となる．さらにはは長軸の楕円で，がこの楕円の焦点だからにかかわらずで一定である． 従って

である．