東京工業大学前期 1990年第5問 (解答解説)

【解答】

から引いた接線が軸に平行になるのは(i)からの座標がである．このうち(i)(ii)を満たすのはの座標がをみたす時である．

そこで以下から引いた接線が座標軸に平行にならない場合を考えよう．この時，から引いた接線は傾きとして

とおける．

ここで，なる変換を考える．この変換によって図形や点が移動した後の図形や点をダッシュ付きで表す（例えばはのようにする）．この変換によって楕円は半径の円に変換される．が変換された

は円と接している．よって円と直線が接する条件が円の中心と直線の距離が円の半径に等しいことであるから

を満たす．両辺以上なので2乗しても良く，

となる．だから(式4)はについての二次方程式である．

から本の接線が引けるからの2次方程式(式4)が二つの実数解を持つのでこれをとする． (式4)の判別式とするとであって，

である．

さて，(式5)のもとで条件(i),(ii)について考えよう．まず条件(i)を考える．(i)がみたされる時として，線分と楕円の共有点がのみであるから，

のの解が負ならば良く，

である．

次に条件(ii)をかんがえる．がより大きい条件はと表せる：

ここで(式5)において解と係数の関係より

だから(式8)に代入して

(式7)よりだから両辺にかけて整理すると

である．

以上から求めるの条件は(式5),(式7),(式11)およびであり整理すると

である．これを図示すると下図斜線部（境界含む）である．

斜線部の面積とすると，これは半径, 角度の扇形から底辺, 高さの三角形の面積を減じたもので

\begin is only supported in math mode\begin{align} \begin{split} S &=\left( \text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.05)}, scale=0.5, >=stealth] \draw[thick, fill=gray!20] (0,0) -- (-60:1) arc (-60:60:1) -- cycle; \end{tikzpicture}} \right) - \left( \text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.05)}, scale=0.5, >=stealth] \draw[thick, fill=gray!20] (0,0) -- (-60:1) -- (60:1) -- cycle; \end{tikzpicture}} \right) \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2\pi}{3}\cdot\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{4}{3}\pi-\sqrt{3}\right) \end{split} \end{align}

である．