東京工業大学 前期 1989年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

となるのは，でかつ回目に今までと同じカードを引くか，でかつ回目に新しいカードを引くかのどちらかだから，

である．

(2)

確率変数を，

と定めるとだから，期待値の加法性およびに関する対称性から

である．回目までに1のカードを引く確率は排反事象をかんがえて，

であり，また期待値の定義から回目までのの期待値は

だから，(式4)に代入して求めるの期待値は

である．

\bigskip

【別解】

(2)

解答では誘導を使わずに直接求めたが，(1)の誘導に乗ると以下のようになる．

(1)の漸化式の両辺をかけてについて和をとると

を得る．だから右辺第一項の和の上端はで書き換えられて

最初の和と最後の和は（添字をとおきかえると）互いに打ち消しあう．また確率の定義より第3項はであるから，結局

とかける．よりだから，これと合わせて漸化式をとくと

となる．