東京工業大学前期 1985年第5問 (解答解説)

1からまでの整数を1枚に1つずつ書いた枚のカードの組を3組用意する． 3人がそれぞれ1組ずつを持ち，各人はその中から無作為に1枚のカードを抜き出し，そこに書かれた数によって得点を次のようにA，B 2通り定める．最大数を出した人が1人だけのとき，その人の得点は

A：自分の出した数

B：他の2人の出した数の和

とし，他の2人の得点は，A，Bいずれの場合も0とする．最大数を出した人が2人以上のときは，A，Bいずれの場合も，3人の得点は0とする．各人の得点の期待値を，A，Bそれぞれの場合について，を用いて表せ．

【解答】

3人をとして，に対しての得点を確率変数，引いた数を確率変数とする．以下A, Bそれぞれの場合でのの期待値を求めよう．

に対してとなる確率は，がを引いてが以下の枚を引く場合である．従って

と書ける．後者の表式がの時にも成立するので結局

である．従って求める期待値は

である．

の引いた数がである時にが得点する場合は，の時でありこの時の得点はとなる．従ってがを引いた時の得点の期待値はの時であって，のときは

条 件 を み た す 全 て の に つ い て の の 和

ここで，はおよびの範囲で独立に選べるから，一つに対してが対応する．従って

である．これはの時のも満たすから，全てのについて

である．

これを全てのについて平均すれば全体の期待値が出るから，

である．

(式3),(式14)よりA, Bいずれの場合も求める期待値は

である．