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東京工業大学 前期 1985年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1985年 第4問 (解答解説)

📝 問題

平面上の点を通る曲線上のである任意の点について， その点でのの接線が点を 通るという．この曲線の方程式を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意のように上の点でのの接線が常にを通る場合を考えよう． P, Qの座標の差分を計算するとより

となるから，PとQの座標は常に異なる．従って直線は軸並行ではない．

曲線 $C$ 上の点 $P(x,y)$ における接線 $\ell$ と，それが通る点 $Q$ の位置関係．

図 1: 曲線 上の点 における接線 と，それが通る点 の位置関係．

そこで平面において直線PQの方程式を考えると

と表せる．が上にあるのでQの座標を代入してで変形を進めると

を得る．ここでとするととなり，が解となるがこれは点を通ることに反する． よってとして変数分離すると

を得る．両辺を積分して積分定数を定数とすると

①

となる．従っておよびの各接続区間において定数を用いて以下のように表せる．

曲線は点を通るためで連続である． よっての左右極限が共にに一致すれば良いから

となる．よって(式7)に代入して

となるが，複号負はがを通ることに反する． 従って求める曲線は

である．

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