東京工業大学前期 1986年第4問 (解答解説)

【解答】

題意の放物線の頂点はだから，これがの上にある時

と書ける．また

とおくとの異なる実解が2つ存在する．そこでについて考えると，

だから，がただ二つの解を持つためには，についてがにただ一つの解を持てば良い．は二次関数だからはたかだか二つの解をもち，この条件を満たすのは以下の二つのパターンである．

この時はの判別式をとしてであれば良い．具体的にを計算すると

だから，の時である．しかしこれは題意の条件に反して不適である．

この時はとなる．具体的にを計算すると

だからこれがの時である．題意の条件を満たすのはの時である．この時

だからもう一つの解はとなる．また(式1)より

である．

以上の場合分けよりであり，この時の2曲線で囲まれた部分は下図斜線部となる．

従って求める面積は(式3)より

である．

最後の積分でベータ関数の公式

を用いた．