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東京工業大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
#積分
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東京工業大学 前期 1987年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を正数とし，媒介変数によって表示された曲線

が軸に接しているとする．このとき次の問に答えよ．

  1. の値を求めよ．

  2. 2直線，および曲線によって囲まれた部分の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

わかりやすいように

とおく．一階微分を計算すると

である． よりだからは

②

となる．

題意よりかつなるがあるから，これをと置く． まず(式2)より

である．ついでに(式1)に代入して

が求めるである．

(2)

(1)の結果を(式1),(式2)に代入すると曲線の増減表は以下のようになる．

表 1: 曲線の増減表

また極限値は

である．

また，との上下関係を調べると

である．

以上からの概形は下図で，もとめる面積は下図斜線部である．

曲線$C$の概形と面積$S$

図 1: 曲線の概形と面積

図のようにと置くと面積はと，曲線との囲む部分の二つの面積の合計であるから

である．

ここで(式1),(式2)から被積分関数は

であり，各項個別に積分を計算すると

だから(式11)に代入して，

が求める面積である．

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