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東京工業大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
#場合の数・確率 #整数
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東京工業大学 前期 1987年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面上の点が原点から点（は3以上の自然数）まで 次の法則で動くものとする．

  1. が点にあるとき， ，ならば2点またはのどちらかに 確率ずつで動く．

  2. が点 にあるときは確率1でへ動き， 点 にあるときは確率1でへ動く．

点が点を通過する確率をとする． このとき次の問に答えよ．

  1. のとき，を求めよ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$(k,l)$に関連する推移の様子

図 1: に関連する推移の様子

点がを通過するのは回目の移動の時だけであるからこの場合だけを考えれれば良い． の時は各回の移動で点Aは(i)に従う．すなわち方向へ移動するか方向へ移動するかである． 回の移動のうち何回目に上へ移動するかかんがえて，

である．

(2)

$x=n$に関連する推移の様子．

図 2: に関連する推移の様子．

題意の法則により

と書けるから右辺を計算することで左辺のを求める．

まずは回とも右へ移動した場合だから

である． は(1)の結果から

である．したがって(式3),(式4)を(式2)に代入して

である．

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