東京工業大学前期 1987年第1問 (解答解説)

【解答】

題意より

である．題意の関数を

とするとの3実解がである．対称性から

として良い．因数定理から

だから，(式2),(式3)の係数を比較して

を得る．これを(式1)に代入して

を得る．

(式7)よりのうちの奇数個が負であって，これとより

のいずれかである．以下これに従って場合分けする．

がすべて負でが最小だから(式6)において

だから

であり題意を満たす．

とおくと，はの2次式の正の2実解だから，

である．を(式6),(式8)に代入して

である．まず(式12)の第二式がのもとで成り立つには

であって，このもとで(式11),(式12)は

となる．しかしとのでの交点であるはより大きいため，下図のようにこれを満たすようなは存在せず，よってこの場合は不適である．

以上(i),(ii)の場合分けから題意は示された．