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東京工業大学 前期 1986年 解答解説 このページの閲覧数
#積分 #数列
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東京工業大学 前期 1986年 第5問 (解答解説)

📝 問題

，を自然数とする． 第1象限内の曲線と軸，軸とで囲まれる部分の面積をとする．

  1. を求めよ．

  2. であることを示せ．

  3. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の曲線は下図のようになる．

従って題意のは積分形式で

と書ける．

(1)

(式1)でとして

である．

(2)

(式1)より

である．に部分積分法を用いて変形すると

である．ここでと変数を置換すると，，でだから，

となり題意は示された．

(3)

(2)の結果ををくり返し用いて，最後に(1)の結果を用いて

である．

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