東京工業大学 前期 1986年 第3問 (解答解説)

【解答】

題意の状況を図示すると下図のようになる．

題意よりは

を満たす． 従って四辺形の面積はであり，のグラフとAB,BC,CDで囲まれる面積はだから定数として

がなる任意ので成立する．ここで(式2)は でも明らかに成立するので不等号を拡張している． (式2)の両辺をで微分すると

となる．を(式3)に代入すると

であり，(式1)を代入して

を得る．

次に(式3)でとしてとおくと

を得る．の時は両辺を整理して

となる．両辺を積分して

となる．ただしは定数である．

の時(式1)よりでをみたすので，で(式8)が成立することからである． したがって

となる．とあわせて絶対値を外せば

となる．これは(式1)よりでも成立し，また(式2)を満たすからこれが求める関数である． 以上より

である．