東京工業大学 前期 1985年 第3問 (解答解説)

【解答】

題意の円の様子を図示すると下図のようになる．

円の半径をとすると題意から

である． またとおく（）． との接点をとするとはの交点であることに注意する．

(1)

四角形ABDCの面積は

であるから，以下をを用いて表す． そのためにが必要なのでまずはこれを求めよう． にピタゴラスの定理を用いて

である．をを用いて表すと

だからここに(式3),(式4)を代入して

だから，

の元で両辺二乗して

だから整理して

となる．これを(式8)に代入するとより

であり，よって(式13)のは(式8)を満たして十分である．

このもとで(式4)に代入して，(式1)に注意すると

だから(式2)に代入すると

が求める面積である．

(2)

簡単のため

とおくと，(式1)の元で

である．(式18)のの表示と合わせて，以下(式20)の元で

の最大値を求めれば良い． の一階微分を計算すると

だから増減表は以下のようになる．

したがってすなわちはで最大値をとり，その時の値は

である．