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東京工業大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式 #積分
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東京工業大学 前期 1984年 第3問 (解答解説)

📝 問題

曲線 をとし， をとする． 上に点，上に点をとり， ，を結ぶ直線をとする． 原点をとする．

  1. がまたはの接線になっているとき， の面積は一定であることを示せ．

  2. の面積が(1)の値に等しいとき， はまたはの接線になることを示せ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

の座標はとおける．ただし

である．

双曲線$C_1$，$C_2$と点$P_1$，$P_2$

図 1: 双曲線，と点，

(1)

対称性からでとが接する場合を考える．この時のの方程式は

であるから，これとの交点を考えるととなる． 従っての面積は

となり一定値となる．よって示された．

(2)

とおくと(式1)よりである．この時の面積は

と表される．この値が(1)の一定値に等しい時

であるから，以下の値で場合分けする． また，の方程式は

である．

の時

この時よりとおける． この時直線の方程式は(式10)より

となりこれははの接線である．

の時

の時よりとおける． この時直線の方程式は(式10)より

となりこれははの接線である．

以上から題意は示された．

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