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東京工業大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
#整数
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東京工業大学 前期 1984年 第1問 (解答解説)

📝 問題

，を正の整数とする．

  1. ，とおくとき， 不等式が成り立つことを示せ．

  2. が素数の整数乗になる，をすべて求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より

である．

(1)

題意よりである．(式1)よりだから，

だから

であり，題意は示された．右側の等号成立条件はの時である．

(2)

とおいて（，）となる条件をしらべる． まず(式1)からなのでである． 従って として良い．

さて，を因数分解すると

である．従って（）とおける． (1)の結果から

であるが，が素数だから(式6)を満たす組は

である．

の時

この時は

と書けるからに代入して

となる．ここでは自然数，は以上の整数だから，右辺がを因数に持たずに不適である．

の時

この時は

と書ける．まず(式6)で等号が成立するので(1)からである．これを代入して

となる．は自然数だからであることが必要で，よって非負の整数を用いて

と書ける．逆にこの時

とかけて題意を満たすから，(式13)は解である．

の時

この時は

である．従って第一式の二乗と第二式の三倍を計算すると

だから，を消去して

である．ここで対称性からの場合のみ考えよう． (式15)に代入して

である．は自然数だからなので，非負の整数を用いて

と書ける．逆にこの時

となって条件を満たす．逆ののパターンも同様だから

が解である．

以上の場合わけで全ての場合が尽くされた．よって求める解は(式13),(式24)から

である．

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