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東京工業大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
#整数 #極限
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東京工業大学 前期 1983年 第1問 (解答解説)

📝 問題

正の有理数を既約分数で表したとき， その分母の平方をとする （自然数に対してはとする）．

  1. 相異なる正の有理数，に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

  2. 自然数に対してとするとき， 次の極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

相異なる正の有理数は

とおける． ただし，，と，とは互いに素，又対称性からとする． この時より

式

だから与えられた不等式の右辺と左辺の差は

となる．ここでよりだからなので第二項は正である．第一項も自明に以上だから右辺が以上であって

よって示された．

(2)

とおく．を計算するためにの偶奇で場合分けする． とすると

の時，の時，

であるから，

となる．ここで

とおくとでで，

および

以上からの偶奇にかかわらずは同じ値に収束し，その収束値は

である．

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