東京工業大学前期 1983年第2問 (解答解説)

【解答】

題意より

で考える．与えられた放物線を

とおく．(式1)の端点での値は

であり，での値はの符号に応じて変化する．

一階微分は

であり，この増減表はの値によって以下のように場合分けできる．

この時は(式4)よりとなって，は単調増加である．またこの時だから

である．従って(式2)より(式1)の範囲では

となる．

この時の増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

またこの範囲ではだから(式3)と合わせて

であり，また

である．従っての動く範囲は

である．

この時は(式4)からであって，は単調減少である．またこの時より

である．従って(式1)の範囲では

である．

以上の場合分けをまとめると(式7),(式11),(式14)より求める領域は以下のようになる．

これを図示すると下図の斜線部となる．境界はを除く．

（の部分は上側の曲線・放物線の下側包絡線から上方に無限に広がる領域，の部分は放物線の下方に無限に広がる領域．灰色部は図の枠内で切り取って表示している．）