東京工業大学前期 1983年第5問 (解答解説)

【解答】

題意より

と書ける．との交点を，との交点を，との交点をとおく．

は，直線，と曲線（）とで囲まれた図形の面積であり下図のように分割できる．ここで新しく補助点をおいた．

従って

\begin is only supported in math mode\begin{align} S(t) &= \triangle\text{ABC} - \text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0.1)}, scale=0.4]{ \draw[thick] (0,0) -- (0.8,0.8); \draw[thick] (0,0) to[out=20, in=-110] (0.8,0.8); } \end{tikzpicture}} AB \\&= \triangle\text{ABC} - \left(\triangle\text{ADB} - \text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0.1)}, scale=0.4]{ \draw[thick] (0,0) -- (0,0.8) -- (0.8,0.8); \draw[thick] (0,0) to[out=80, in=-170] (0.8,0.8); } \end{tikzpicture}}\text{ABD}\right) \end{align}

と書けるから各項を順番に計算する．

まず三角形ABDの面積は

である．

次にの面積は

より

である．最後にの作る部分ABDの面積は

\begin is only supported in math mode\begin{align} \text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,0.1)}, scale=0.4]{ = = = = \draw[thick] (0,0) -- (0,0.8) -- (0.8,0.8); = \draw[thick] (0,0) to[out=80, in=-170] (0.8,0.8); = } \end{tikzpicture}}\text{ABD}&= \int_1^{3t}\dfrac{3}{x}\,dx-(3t-1)\cdot\dfrac{1}{t}\\&=3\log3t-\dfrac{3t-1}{t} \end{align}

である．

を得る．よって以下このにおける最小値を求める．一階微分を計算すると

だから増減表はにおいて以下のようになる．

表 1: の増減表

したがってはの時に最小で，その最小値は

である．