東京工業大学 前期 1982年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の条件より

である． のなす角とおくと

である． 対称性から

で考えれば良い． というのも，の時はと置き直せば(式3)の場合に帰着するからである． この時(式2)でであることに気をつけよう．

さて，に対して

の最小値を考えよう．対称性からとして考えれば十分である． の場合はに注意すればの場合の議論と合流するからである．

の時は(式4)は

であり，これは自明にで最小値をとる． そこで以下の場合について考える．

以上の場合わけで全ての場合が尽くされた．よって(式3)およびの場合の最小値は のいずれかで取る．

の場合に範囲を拡大すると，対称性からの場合も考えれば良い． 従ってさらにの場合も含む．これらのうちの場合の値はだから，結局

であり題意は示された．

(2)

引き続き(式3)およびのもとで考えれば十分である． この時となる条件はがこれより大きいことで

となる．従って三角形の面積

の最小値はの時のである．