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東京工業大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式 #積分
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東京工業大学 前期 1982年 第4問 (解答解説)

📝 問題

不等式で定まる領域をとする． 原点を中心としを正の向きに回転させるとき， の点が通る点全体は平面上の1つの領域をつくる． この領域の第1象限にある部分の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

点をだけ回転させた図形上の点とすると，

より

と書ける．これを元の楕円の領域

に代入すれば回転した楕円の方程式になる：

従っての通過する領域は以下の斜線部である．

面積$S$を求めるための図

図 1: 面積を求めるための図

Dの通過領域（斜線部）と回転前後の楕円

図 2: Dの通過領域（斜線部）と回転前後の楕円

従って求める面積は扇形OCDと楕円を切り取った部分OBCの二つの面積の和で表せる． まず前者の面積は

扇型

と求められる．

次にOBCの部分について考えよう． に注意すると，なる変換をすれば下図斜線部の領域になるので，

である．

変換後の平面における扇形領域 $OBC$

図 3: 変換後の平面における扇形領域

(式5),(式6)から求める面積は

扇形楕円

である．

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