東京工業大学 前期 1982年 第3問 (解答解説)

【解答】

題意の曲線をとおく．より，におけるの接線は

と書ける． これがを通る時，

を満たす． の2重接線はだけであり，題意からがを動く限りは考えなくて良い． 従って題意の条件は(式2)がに関して4実解を持てば良い． そこで，(式2)を整理して

とおくと(式2)はと同じである．の挙動を調べるため一階微分を計算すると

より，の値によって以下のような増減表を得る．

表を得る．まず，が解でないので．

以上の場合分けより，の符号を調べれば良い．(式3)より

である． ここでであり，題意よりを満たすから常にである． よって(式5),(式6),(式7)よりを要求する は起こりえず （）のみが可能である． よって求める条件は(式6)で，が自動的にみたされることから

に帰着する．以上から，もとめる領域は

であり，図示すると下図（境界含まず）である．