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東京工業大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
#積分 #極限
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東京工業大学 前期 1981年 第4問 (解答解説)

📝 問題

区間において とおく．

  1. を求めよ．

  2. となるの範囲を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

の時を考えるので，が十分に近いとして と考えて良い． この時平均値の定理から，

をみたすがある．はさみうちの定理よりの時で は連続だから，求める極限値は

である．

(2)

被積分関数の絶対値を外すと

となる． 前者はとを結ぶ直線の傾き，後者はとを結ぶ直線の傾きを表す． これらのグラフは，端点での傾きにも注意して以下のようになる．

傾きとしての $F(t)$ の幾何学的意味

図 1: 傾きとしての の幾何学的意味

従って のグラフの概形は下図のようになる．

$y=F(t)$ のグラフの概形

図 2: のグラフの概形

したがって，となるの範囲は，

である．

\bigskip

【別解】

(2)

新しく

とおくと，はとの傾きである． のグラフは，に関して点対称である．の時，

だからのグラフは下のようになる．

$y = |\cos\pi t|$ のグラフ

図 3: のグラフ

$y = g(t)$ のグラフと凹凸

図 4: のグラフと凹凸

従って求めるの範囲は

または

である．

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