東京工業大学前期 1981年第2問 (解答解説)

【解答】

とすると一階，2階微分は

だから増減表は以下のようになる．




$Missing close brace\text{\raisebox{-2pt}{$ \curvearrowright $Extra close brace or missing open brace}}$		$Missing close brace\text{\raisebox{-2pt}{$ \curvearrowleft $Extra close brace or missing open brace}}$		$Missing close brace\text{\raisebox{-2pt}{$ \hookleftarrow $Extra close brace or missing open brace}}$		$Missing close brace\text{\raisebox{-2pt}{$ \hookrightarrow $Extra close brace or missing open brace}}$
	(極大)		(変曲点)		(極小)

表 1: の増減表

従っての概形は以下のようになる．

$y = x^3 + 3x^2$ のグラフと主要な点 $O, P, Q, D$ — 図 1: のグラフと主要な点

次にR, Sを動かして良い領域について考える．グラフの凹凸より，点RはDの中で自由に動かしても良いが点Sは場所によっては線分OSが領域Dの外に出る可能性がある．そのために原点Oからに引いた接線について考えよう．

(式1)よりでの接線は

となる．これがを通る時，

であることに注意すると，非自明な解はである．この時の接線は(式3)より

である．よってがに含まれるようなR,Sの可動領域は下図斜線部（境界含む）である．ここで(式5)との交点をとおいた．

R,Sが動ける範囲 $E$（斜線部） — 図 2: R,Sが動ける範囲（斜線部）

さて，この時の面積最大値を与えるの候補を考える．まずを固定してを動かす．OSを底辺とみなすと，Rが領域Eの内部にある時，RからOSにおろした垂線上でRをさらに動かして領域Eの境界まで持って行くことでの高さはより大きくなり，従って面積も大きくなる．よっての面積が最大の時Rは領域Eの境界上にある．全く同様に考えるとSも領域Eの境界上にある．従って，以下この場合のみ考えよう．

点Sは第二章限にあるから，その座標をとおく．この時線分OSと点Rの距離はとして

と書ける．よりこれはについて単調増加だから，の面積が最大になるのはの時である．この時線分ORの方程式はと書ける．

次にSを動かすことを考えると，との距離を最大にするをもとめれば良い．としてこの距離をとすると，

となる．これはについて単調減少，について単調増加だから，最大値を与えるはである．

以上から，，の時にの面積は最大で，その値は

となる．

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【解答】