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東京工業大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
#数列 #整数
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東京工業大学 前期 1981年 第1問 (解答解説)

📝 問題

はを満たす実数とする． 任意の自然数に対して， の整数部分をとし， とおくと， が奇数のとき， が偶数のときになるという． およびを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の関係式

の両辺にをかけて，

がについての漸化式である． 題意よりの大きさがの偶奇で異なることから場合分けして考える． 以下 とする．

の時

この時は題意よりだから，(式2)は

となる．

の時

この時は題意よりだから，(式2)は

となる．

以上(式3),(式4)からまずが奇数の時のについて

となる． だから(式5)をくり返し用いて，

を得る．(式4)よりが偶数の時のについて

となる．

さて，題意より が任意ので成立するので， であることが必要で，逆にこの時(式6),(式7)は

となって条件を満たす．よって である．

は(式8)を(式1)に代入して

と求まる．

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